积分第二中值定理的一个证明

1。真不容易，总算是把证明发到blog上面来了。方法如下：先写latex，然后用latex2html转成html文件。所有的公式变成图片。然后把html的代码放进blog里面来。这段代码确保图片出现在合理的位置，以合理的大小。是latex2html生成的。
2。图片是大问题，google,sina提供的那些照片空间都故意采用了随机的文件名和路径名。邪恶！我到处找免费的主页空间，终于让我找到了一个。把文件都传上去，然后用文本编辑器的replaceall功能把html代码中的url全部改过来。这样就可以用了：）
3。这个证明不容易，我构思它到晚上1点。虽然可能不是新的，不过我是自己想的。思路过程就不写了，反复简化到如今的样子。虽然还是有点hand-waving。(菲赫金戈尔茨的证明也很好，我感觉就是离散化之后，用Abel求和公式。他们都用来证明Abel和Dirichlet的判别法，有这个联系是应该的。虽然我几年没有见过Abel的求和公式了。)
4。我知道很多专业人士看这个blog的，拜托检查下错了没有。要是错了，麻烦留个言。
5。图片有些不理想，比如莫名其妙的黑线和灰色，我想那应该是latex2html的bug。以前处理过黑线，现在懒得干了。等他们自己升级吧。

latex2html这个软件应该有windows版的。我从ubuntu里面直接apt-get install latex2html就行了。

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定理：设在上Riemann可积，在上单调降但非负。则存在 , 使得

证明： 不妨设。令

和

原命题等价于对任何存在 使得

这又等价与

和

把命题转化成这个样子的好处是可以用逼近的证法。断言：只要对阶梯的证明命题即可。如果不然，上面变成严格大于（小于）的不等式，然后用阶梯函数的情况一逼近就找到矛盾了。

变成阶梯函数，就等于把原来可积的的复杂变化都去掉了。那么初等的有限次的讨论，就可以用了。如果非负，那么单调，对应的情形易见是对的。如果我们只证明关于max的那个不等式，那么我们关心的极小点（左右都有比它严格大的那种）。不妨设只有一个。设在上单调降，在上单调增，而且。并且取尽可能小，尽可能大。

由于的单调性，

因此，如果能够成为反例的话，还不如让在之间为零，也就是说让在之间是常数。这样的话，这个极小点（左右都有比它严格大的那种）就不存在了。最合适做反例的竟然是单调函数，但是单调函数不是反例。所以命题成立。