实数域自同构

被问到，刚查的，水很深。
证明居然不长。

(idea)

by Alexander Pushkin

Tue Sep 26 2000 at 12:31:02

Let s:R->R be an automorphism. By considering s(1+1+...+1)=s(1)+s(1)+...+s(1) we see that s(n)=n for all integers n; since s preserves division, s(r)=r for any rational number r. So much is standard. Now, if we could prove that s is continuous, we would be done (since it is the identity function on a dense set). But what properties does s have that we could use? NONE! Instead, we'll use some properties of R. Call a number x "nonnegative" if x=y2 for some y, in R. Note that this corresponds exactly with our notion of this concept. Note also that s(x)=s(y)2, so s preserves nonnegativity. But this means that s preserves the order on R (since a<b iff a+c=b for some nonnegative c). Now, to every real number corresponds a unique "section" of the rationals (a partition of the rationals into those "smaller than" the real number and those "greater than" (or equal, if it's rational) it. But s maps all elements of the section to themselves, and preserves order. So the section of every real number x is transformed into the section of s(x) (since s preserves order), and yet remains constant (since s is the identity on the rationals). Thus it must be that s(x)=x.

但如果是复数域就有很多不同的自同构，连续的，不连续的都有。

转眼已经第7周了

盼望着过了9周就好了。

代数拓扑越教越困难了。一个例子都要看很久才懂，再准备很久才能想好怎么讲。没有金刚钻还是不能揽瓷器活，以后老老实实的教微分流形。很感谢现在还在听课的学生，居然还有5个人来。说实话，要是真的有一天没有一个人来了。最头疼的肯定是我，不好向系里交待。领导肯定会说为什么不讲简单点啊，为什么不严格要求啊。庆幸所剩不多了。这个学期代数拓扑可是彻底的升级了啊，教室里面收获最大的人肯定是我了。不过，搞这个调调不能转化为生产力啊:(

感觉老姜的《同调论》也是masterpiece啊。可能是我没看过几本书吧。觉得关于乘积部分处理的很轻巧。Hatcher的书讲到乘积已经基本上没有什么几何的感觉了。（这样说可能不好，就算到了第9周，我也不能看全Hatcher的书。）

忙完了这个，还要想论文，再抽点时间锻炼身体。现在觉得自己是亚亚亚健康状态。

拔牙

本来只是去看牙的，心里期望补补就好了。
结果医生说，烂了两颗。拔，都要拔。

拔牙的过程很简单，麻药很好使。还没有太感觉到就完了。100多元也没有了。感觉还行，结果下午开始麻药没了。一直疼到现在。

另外那个还是不要拔了。

从地到天，从天到地

呵呵，临时想到这么有趣的标题。万事万物多么神奇！

世界货币！周小川提议，奥巴马说没有必要。干挺美元的霸主地位看样子是人人都想干的事情了。假如真的可以成立一个不依赖于任何主权国家的地球中央银行，那么这个世界货币怎么发行呢？某国需要一笔世界元用什么来换呢？用什么比例来换呢？还是大家都分一笔启动资金？开始的时候分多少呢？这种问题能够在谈判桌上搞定么？咱国家真的有一套方案呢，还是纯粹扯淡捣乱，提一个destructive的建议呢？我觉得还是推广区域的人民币结算实在些。贸易需求才是真实的推动力，只有让商人在贸易的过程中决定汇率才是实在的。当然了，人人都要争取自己的利益。不过我并不指望这种事情可以谈出来。等等看吧，G20就要开了。

今天有学生抱怨说我讲快了。问这本书够我讲么？速度是可以调整的嘛。不够总比讲不完要好。技术性的问题好商量，时间多了讲点习题，时间少了跳过一点不重要的。学的好的想难点，没问题；学的困难的想细致点也没有题；不想学习的，想白拿分数……另外一门课本来说要严格要求做规矩的，放弃了。我真的没有办法，我想还有些学生我还没有见过面呢。

有段时间很羡慕现在的年轻人的，各个很有想法，眼界开阔懂很多知识（互联网可不是开玩笑的）。现在觉得有点不稀罕了。好东西需要很多好的属性，以一种为代价换取另外一种，算不上什么了不起的事情。想起我们读大学的时候那叫土，追求？谁有？反正既然来读书的就读吧，学的好的开心，学的不好的郁闷。至少知道郁闷吧，以前对门寝室一哥们自己期望很高的，一个考试60分，好久都不爱说话闷头上自习。

火箭今天输爵士了。还来得及看了半场。要是Yao决定改风格，中距离投呢？学校搞篮球比赛了，明显照顾我们老了。半场15分钟:) 时间和我们的讨论班一模一样，就像是故意的。反正参加的人多，为了娱乐都是要出场的，少我一个不少。一定要以娱乐为要点，不然又要受伤了。上次摸篮球是投篮比赛，上上次已经记不得了。

把博客从主页上拿掉了。这样自由一点，虽然还是不能什么话都说，但是毕竟好点。谁叫你找也要找来看呢。

好问题：关于多元函数连续性

讲多元函数连续性的时候想到一系列问题：设f是平面上的函数，
1） 若f限制在平面所有直线上连续能否推出，f作为二元函数连续？
2） 所有圆？
3） 所有解析（光滑）曲线？
4） 所有k次可微曲线？
5） 所有连续曲线？

中午跟办公室F讨论了一番，最后感觉是 如果限制在1次可微曲线上连续应该可以推出作为二元函数连续，2次就不行了。

当然这个就是最新的感觉，没有写证明，说不定写下来是错的。另外，这个问题更有趣的一个方面是把维数提高，考虑N维空间上的函数，限制在n维的浸入子流形上面。目前的感觉是，对应上面那个‘1’也应该变大。不过，这个感觉更加不靠谱。

觉得自己应该不会有时间去严格的讨论，所以就感觉论感觉算了。

球评：火箭两加时胜半只活塞

活塞少了AI，汉密尔顿和华莱士，应该算是小半只。火箭少了Tmac，习惯了，当一只 :)

1. yao今天表现不错。开场的时候实在是太土了。背筐打，转个身发现自己还是背筐，再转，走步了。我一边看一边担心Yao从此堕落下去啊。后来渐渐的手感好了，今天没有容易的球。对方的内线身体很好，虽然全场大部分时间不包夹，不绕前，还是没有让Yao拿到很好的投篮位置。手感好就是没办法，全投进了，包括后面第四节很多关键的进球。Yao让全场观众看到他还行。

2. 阿泰今天表现更好，投进了很多球。而且最后关头不断的把球送给Yao。我觉得他是那种太真性情的人了。你投不进，管你是什么来头，对不起我自己玩。投的进，我给你。只能希望Yao以后争气点，别把阿泰逼疯了。

3. 可怜的两个小后卫。AB一直在防守对方后卫（Sturk？）的过程中占下风。还有一点，AB明显的不受裁判的待见，有两个有争议的阻挡，尤其是前一个。AB太单薄了，所以关键时候老A也记得换上罗利，好了一点点，还是不够。看上去老A还是不信任罗利打组织，每次防守任务一结束，还叫AB来。

4. 篮板输太多了，想念兰兰了。美国治安这么差啊！中弹了还能跑，枪法不是一般的准。

感觉台湾的主持也是把Yao当自己孩子一样捧着，跟CCTV一个样，大喊着把球交给Yao。

连通性

集合连通性没有讲好。
书上不是用开集分离定义的，搞什么聚点。我没有多想就把它鄙视了。
然后自己讲开集分离，涉及到相对开集，没办法直接引入。只能谈什么开集和定义域的交。
结果讲得有点乱了。

书上的讲法丑是丑点，但是ugly for a good reason :(

direct sum V.S. direct product

第100贴啊，好题材。

在代数拓扑书上看到：

the cohomology group H^1(X;G) is a direct product of copies of the group G, ... This can be compared with the homology group H_1(X;G) which consists of a direct sum of copies of G....

吓惨了！怎么就一个是和一个是积呢？这个书是错不了的。
网上找到这个通俗版的解释：

In general, the difference between a product structure and a coproduct (i.e. sum) structure is the direction it relates to its components.

When you have a product structure, you have 'projections' A×B->A and A×B->B, as well as the fact that any pair of maps C->A and C->B can be lifted to a map C-> A×B in exactly one way.

When you have a sum structure, you have 'inclusions' A->A+B and B->A+B, as well as the fact that any pair of maps A->C and B->C can be pushed to a map A+B->C in exactly one way.

The thing that makes linear algebra really cool is that A×B=A+B for vector spaces and other similar structures, as adriank said. (Though this doesn't remain true when you compare an infinite product of structures to an infinite sum of structures)

(link)

最终wiki上面有详细的解释。

http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory)

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

我想我大概有个好习题：一般拓扑书上讲的那个无穷乘积拓扑是直积，不是直和。

同调上同调这个我就想当然了。呵呵

球评：火箭对湖人

输了，上海台那个胖子说输给“一个人”Kobe了，还真是。
1. Kobe没话说，有实力。感觉最后比赛3分钟完全是他一个人在表演，湖人其他人估计已经习惯了。Gasol这身份也就是演个配角，其他的连镜头都上不了。
2. Yao虽然全场命中率不低，不过在全队最需要他的时候，他也无能为力了。他连球都拿不到，又被绕前了。上半场有几次被包夹，处理的不是很好。我感觉阿泰就不乐意给他打了，毕竟球不是直接在Yao手上的。
3. 阿泰这个人真不好说。我觉得他副作用很大。多次看到他拿这球过半场，控位找他要，不给。我个人觉得他经常“决定”不打Yao那个点了（当然多数在Yao失误之后）。今天，这厮最失败的事情就是跟Kobe斗气，想要单挑。勇气是没有用的，求胜的欲望也是没有用的，需要有脑子。地球人都知道他干不过Kobe的，就是要硬来。这边Kobe2+1了，那边他就失误一个。这种勇气和欲望有什么用呢，只能让Tmac在家里偷着乐。我感觉对Kobe这样的神，就要温水煮青蛙。以前央视谁就说过，一个好办法就是别惹他。最后是谁决定用阿泰防的，为什么不是总统，该不会是这厮主动请缨的吧。
4. 想想有点悲凉，两个决心有余能力不足的人互相激励。
5. 罗利不错，有前途。有点传球的能力，有点防守的狠劲。Ab感觉不敢下手，害怕自己的细胳膊被肌肉棒子们拧了。

打不过湖人是应该的，就是odom不上给了球迷们一丝希望。呵呵，Kobe说他一个人就够了。

乱七八糟

一上午连上4节还是很辛苦的。

下午系里开会了，领导带来了“春风”。说学校如何如何，我都没有听进去。一直在看中午买的一本书（被虫子蛀过的，老板同意八五折）。我的印象是学校一心只想跨越式发展，实现跨越的办法就是“买”。感觉领导们不是很在意纯数学的方向，更不要说我们方向了。买来买去，跟我也没有太多关系。

最近看到不同种类的学生。有特踏实的，踏实得过了头了。学习起来干劲十足，提笔就算。整本的书看得破烂掉了，满页都是笔记，也没见理解多少。有正相反的，爱这爱那，结果连个基本的概念都写不出来的。两种都不好吧，“思”和“学”还是要平衡的。

最后，今天新学了个定理。陈老爷子的工作(joint work)，乍看很吓人，细看也很出色的。欧氏空间中的紧嵌入子流形（可能高余维）。定义从单位（球）法丛到单位球的Gauss映射。用Gauss映射把单位球上的标准度量拉回到球法丛上积分，定义为全绝对曲率。老爷子讲：如果全绝对曲率小于三，则该嵌入子流形同胚于球。（希望我没有转述错。）

球评：我只是在吃饭前看了一会，不算堕落

我打开电视的时候是第三节了。那时候火箭正顺看不出来什么问题，怎么投怎么有。

比赛的转折是，第四节的连续几个犯规。攻防两端，彻底的把我们的士气和手感搞没有了，至于是不是裁判的问题我讲不好。反正犯规很郁闷。

另外一个问题是，Yao的绕前问题。我观察的很仔细，从最后5、6分钟开始，Yao重新上场之后，战术是首先考虑给Yao球的。但是，Yao被绕前了，球从一侧也确实开始向另外一侧转移了，Yao也确实很努力的把对方中锋压在身后。不过，一直在肉搏中，对方其他的球员也在给外线球员施加压力，传球的线路和时机都很难。反正实际情况是，阿泰，小黑豆和总统都没有能够传进去。Yao一看传不进来了，马上放弃出来给外线挡拆，只有档没有拆的那种。这时候公牛防守强度很大，外线也没有能够利用Yao挡人杀进去，就在外面投了，投不进，这是人品。

这样过了两次进攻无效之后，我就看见阿泰不玩了。不知道是教练的意思，还是阿泰自己的意思，不再演练刚才的战术了。不过也是，既然打不成也没有必要一条路到黑。但是阿泰在那个时候也没有更多能力了。再有两次进攻就缴枪了。

分析:

Yao的被绕前。一，这是yao自己的能力缺陷，脚下步伐不够灵活，移动缓慢，才给了对方绕前的机会。 二，我感觉这个事情与裁判有点关系。当然，因为联盟被这么搞的人不多，裁判现在的尺度也没有所谓不公的问题。敌人在绕前Yao的时候其实就是在和Yao摔跤，这种强度的身体接触，其实可以吹。不过这样的话，裁判两声哨响等于就直接宣判比赛了。（我想这就是为什么很多球队直到最后关键的时候才坚决绕前，因为他们不想在比赛一开始就挑战裁判的耐心，那个时候危险很多。到最后就，嘿嘿）三，所谓破绕前的球向另外一侧转移。战术是没问题，不过执行的人。Yao究竟把对方挡得多么结实，外线队员传球的能力。一次进攻就是这么一霎那了啊。所以我有点想tmac了，如果弧顶不是阿泰，总统而是tmac我觉得有点希望。真的，这个时候无论是Yao还是别的队友真的给我average的感觉。虽然很讨厌tmac那么说。

总的来说，球迷应当想开些。赢了骑士也不表示能夺冠，输了公牛也不表示进不了季后赛。球场上的事情，不是东风压倒西风就是西风压倒东风。输的一方，哪怕是LBJ也一样很难看。