Jordan曲线系列定理

(问题搞定，谢谢匿名评论)
被问到：
从n维欧氏空间的开集到n维欧氏空间的连续单射是不是把这个开集映成开集？

我想了一阵，构思了一个证明（是肯定的回答）。用到一个事情：
n维空间中一个同胚于n维闭球的子集（诱导拓扑）的补集是连通的。

1）只须证明像集中任何一点是内点；

2）只要考虑定义域中一个小球，证明球心像是这个小球的像的内点；

3）考虑一个小闭球。利用紧集的像是紧集，和紧集是闭集，证明从小闭球和它的像（诱导拓扑）是同胚；

4）小闭球的边界的像（诱导拓扑）同胚于n-1维球，可以对它用Jordan-Brouwer分离定理，说明它的补必然是两个连通分支。

5）将要证明如果小球心的像不是小球像的内点则小球边界像的补只有一个连通分支矛盾；

6*）整个小闭球的像的补（欧氏空间中一个同胚于闭球的子集的补）是连通的，进而是道路连通的（因为它是开的）；（厉害的地方就在于这个补可能很变态，但是我只要它连通大约没有问题吧）

7）如果球心的像不是小球的像的内点，就是说可以有一条连续的曲线从小闭球的像的补集中任何一点连接到这个球心的像，进而可以连接到任何小球内点的像。这就说明除去边界的像只有一个连通分支。矛盾！

现在6）还没有证明，也没有找到可用的定理。不过感觉应该没有问题，要检查下Jordan-Brouwer怎么证明的。（这个证明可能tooooooold.）


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这些事情和这个问题都不是直接有关的，不过很有意思

http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Jordan.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander%27s_horned_sphere

最后是Schonflies问题：（至少还有一部分是open的吧）
does a smoothly (piecewise-linearly) embedded n-1-sphere in the n-sphere bound a smooth (piecewise-linear) n-ball?
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1. 原始的命题很初等很奇怪这么多年没见到现成的结论。我可不敢claim什么东西。
2. 有人发现证明有问题麻烦留言，谢谢。