数学是永远正确的！ ：）

下载了A walk through mathematics，看了几集。很赞，制作非常的精美。

我和老婆一起看的，她是彻底的数学盲。我一边看一边暂停解释，她也有所收获。期间她问了一个好问题，我事后想了想觉得值得发挥一下。

问：“四维的几何是真实的么？”

刚听这个问题，觉得头一大。不懂数学的人听说四维想到的都是三维空间加一维时间，然后联想到相对论，然后自然的质疑这个事情是真的么，是对的么?所以有此一问。

事实上数学理论无所谓对错的。数学几乎就是逻辑本身，所有的数学，数学系的每一门课程，直到博士论文，直到获得大奖的天才工作，从一个角度上讲都是纯粹的逻辑演绎。这种演绎之初级就好像下面的例子。
已知：1）温度高了人会死。2）大火可以产生高温。
得出结论，大火可以杀死人。

可能难以想象，那么那些所谓数学研究者真的就在反复的做这样的逻辑演绎？我想是的。我们从头回忆，定义自然数，也就是所谓的Peano公理，总共不过9条。(参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms）从这里开始我们定义运算，有理数。大一的时候定义极限，定义微积分。每次一个数学定理被证明，就是一组初等的逻辑被包装起来，给予一个通俗的名字。如果我们追求根本的话，我个人感觉，我们除了定义什么都没有（那些公理算定义）。如果一定要说有的话，就只有逻辑。所以你可以说数学就是逻辑本身。如果你讲究逻辑的话，那么数学理论是错不了的！

这个讲法太让搞数学的人失望了。所谓代数，所谓微分方程，所谓流形，所谓拓扑等等，只是一种逻辑的封装。是一种而不是全部，很特别的一种。学数学的人很清楚，一门学科在最初的时候定义了几个关键的概念，随后的一切就围绕着这些概念展开了。如果我们定义别的什么概念，假定我们也恪守逻辑的要求，我们可能得到别的一种理论，不管它有多么难看，只要逻辑上是正确的。那它就是逻辑的另外一个封装。现在的数学成为今天这个样子，也就是说选择了如今的逻辑封装的形式，是非常不同反响的。这么讲，目前成为众所周知的数学的内容的，是逻辑的一个有选择的子集。

回到原来的问题，对与错的问题。数学已经立于不错之地了。仅仅从对与错的角度，数学家完全可以不在意现实世界。数学有个兄弟，恰恰相反，物理。物理学关心的是现实世界，它致力于回答下面的问题：现实世界是怎么样的？（不是“为什么是这样的”）当有人问你，一个未知的东西是什么样的？你会如何回答呢？通常是把它和一个已知的东西联系起来。（实际上，还有什么别的办法么？没有了吧：））那么物理学中使用的这个已知的东西是什么呢？数学！作为纯粹逻辑的数学！

举几个例子。当物理学用实数来描述物体的位置的时候，它建立了一个从现实（物体的位置）和纯粹逻辑的包装（实数）之间的对应。同样的，其他各种物理量。这种对应是物理的重要内容。当牛顿说F＝ma时，又一组数学的逻辑包装与自然界的现象对应上了。更加复杂的对应，当我们讲氢原子能级是薛定谔算子的本征值的时候，更加深刻的数学被用上了。这么一来，认识客观世界的过程被分成了两个步骤。数学家提供各种模型，物理学家选择他们认为正确的模型来描述世界。物理学家之大胆，革命性之彻底是难以想象的。物理学革命好多次了吧，每次革命从逻辑的角度都颠覆了之前的根本概念（选用了完全不同的数学模型）。但是从实用的角度，又都是之前理论的修订，恰是如此技术的发展才得以延续。

我如果继续写下去会写跑题的，回头看原题吧。两句话，作为数学的四维几何没有对错可言的，必然对。作为一种现实世界的空间描述？谁知道它是不是对的？反正现在的（某些？）物理学家已经抛弃它了。上帝看人，一定很有趣，看着你折腾，就是不告诉你答案是什么。